第二次数学危机怎么解决的?第二次数学危机有什么影响
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第二次数学危机,指发生在十七、十八世纪,围绕微积分诞生初期的基础定义展开的一场争论,这场危机最终完善了微积分的定义和与实数相关的理论系统,同时基本解决了第一次数学危机的关于无穷计算的连续性的问题,并且将微积分的应用推向了所有与数学相关的学科中。
初步解决
直到19世纪20年代,一些数学家才比较关注于微积分的严格基础。从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始,到威尔斯特拉斯、狄德金和康托的工作结束,中间经历了半个多世纪,基本上解决了矛盾,为数学分析奠定了一个严格的基础。
波尔查诺给出了连续性的正确定义;阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和;柯西在1821年的《代数分析教程》中从定义变量出发,认识到函数不一定要有解析表达式;他抓住极限的概念,指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量,无穷小量是以零为极限的变量;并且定义了导数和积分;狄里赫利给出了函数的现代定义。在这些工作的基础上,威尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方,给出现在通用的极限的定义,连续的定义,并把导数、积分严格地建立在极限的基础上。
19世纪70年代初,威尔斯特拉斯、狄德金、康托等人独立地建立了实数理论,而且在实数理论的基础上,建立起极限论的基本定理,从而使数学分析建立在实数理论的严格基础之上。
事件影响
这次危机不但没有阻碍微积分的迅猛发展和广泛应用,反而让微积分驰骋在各个科技领域,解决了大量的物理问题、天文问题、数学问题,大大推进了工业革命的发展。就微积分自身而言,经过本次危机的"洗礼",其自身得到了不断的系统化,完整化,扩展出了不同的分支,成为了18世纪数学世界的"霸主"。
同时,第二次数学危机也促进了19世纪的分析严格化、代数抽象化以及几何非欧化的进程。
不同意见
关于第二次数学危机,自其爆发开始直到二十一世纪,始终都存在着不同意见。著名的数学家欧拉就坚持认为在求导数的运算中,其结果应该是0/0。他举例说,如果计算地球的数值,则一颗灰尘、甚至成千上万颗灰尘的误差都是可以忽略的。但是在微积分的运算中,"几何的严格性要求连这样小的误差也不能有。"马克思在他的《数学手稿》中说得更明确:求导数的运算的结果应该是严格的、特定的0/0,批判了所谓"无限趋近"的说法。同时也有言论称,该危机在二十世纪前的数学研究体制下无法彻底解决。
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