黎曼 斯蒂爾傑斯積分性質 黎曼 斯蒂爾傑斯積分幾何意義
本文已影響1.46W人
本文已影響1.46W人
黎曼-斯蒂爾傑斯積分,外文名Riemann-Stieltjes integral。特點是有數種定義方式,但不是每種定義方式都是彼此等價的,提出者是斯蒂爾傑斯,性質是黎曼積分的一種推廣。
定義
和黎曼積分一樣,黎曼-斯蒂爾傑斯積分的定義依賴對區間分割的定義。
區間的分割
一個閉區間 [ a , b ] {displaystyle [a,b]} 的一個分割P是指在此區間中取一個有限的點列 a = x 0 < x 1 < x 2 {displaystyle lambda } 為這些子區間長度的最大值: λ λ --> = max ( x i + 1 − − --> x i ) {displaystyle lambda =max(x_{i+1}-x_{i})} ,其中 0 ≤ ≤ --> i ≤ ≤ --> n − − --> 1 {displaystyle 0leq ileq n-1} 。
再定義取樣分割。一個閉區間 [ a , b ] {displaystyle [a,b]} 的一個取樣分割是指在進行分割 P = { a = x 0 < x 1 t i ≤ ≤ --> x i + 1 {displaystyle x_{i}leq t_{i}leq x_{i+1}} 。 λ λ --> {displaystyle lambda } 的定義同上。
精細化分割:設 x 0 , … … --> , x n {displaystyle x_{0},ldots ,x_{n}} 以及 t 0 , … … --> , t n − − --> 1 {displaystyle t_{0},ldots ,t_{n-1}} 構成了閉區間 [ a , b ] {displaystyle [a,b]} 的一個取樣分割, y 0 , … … --> , y m {displaystyle y_{0},ldots ,y_{m}} 和 s 0 , … … --> , s m − − --> 1 {displaystyle s_{0},ldots ,s_{m-1}} 是另一個分割。如果對於任意 0 ≤ ≤ --> i ≤ ≤ --> n {displaystyle 0leq ileq n} ,都存在 r ( i ) {displaystyle r(i)} 使得 x i = y r ( i ) {displaystyle x_{i}=y_{r(i)}} ,並存在 r ( i ) ≤ ≤ --> j ≤ ≤ --> r ( i + 1 ) {displaystyle r(i)leq jleq r(i+1)} 使得 t i = s j {displaystyle t_{i}=s_{j}} ,那麼就把分割: y 0 , … … --> , y m {displaystyle y_{0},ldots ,y_{m}} 、 s 0 , … … --> , s m − − --> 1 {displaystyle s_{0},ldots ,s_{m-1}} 稱作分割 x 0 , … … --> , x n {displaystyle x_{0},ldots ,x_{n}} 、 t 0 , … … --> , t n − − --> 1 {displaystyle t_{0},ldots ,t_{n-1}} 的一個精細化分割。簡單來説,就是説後一個分割是在前一個分割的基礎上添加一些分點和標記。(即是説“設 P = { a = x 0 , x 1 , x 2 , … … --> , x n − − --> 1 , x n = b } {displaystyle P={a=x_{0},x_{1},x_{2},ldots ,x_{n-1},x_{n}=b}} 是閉區間 [ a , b ] {displaystyle [a,b]} 的一個分割,若分割 P ′ {displaystyle P'} 是分割 P {displaystyle P} 的一個精細化分割,則 P ⊆ ⊆ --> P ′ {displaystyle Psubseteq P'} ,也就是説,分割 P {displaystyle P} 是分割 P ′ {displaystyle P'} 的子集”)
於是我們可以在此區間的所有取樣分割中定義一個偏序關係,稱作“精細”。如果一個分割是另外一個分割的精細化分割,就説前者比後者更“精細”。
黎曼-斯蒂爾傑斯和
對一個在閉區間 [ a , b ] {displaystyle [a,b]} 有定義的實值函數 f {displaystyle f} , g {displaystyle g} 關於取樣分割 x 0 , … … --> , x n {displaystyle x_{0},ldots ,x_{n}} 、 t 0 , … … --> , t n − − --> 1 {displaystyle t_{0},ldots ,t_{n-1}} 的黎曼-斯蒂爾傑斯和定義為以下和式:
和式中的 Δ Δ --> g i {displaystyle Delta g_{i}} 表示 g ( x i ) − − --> g ( x i − − --> 1 ) {displaystyle g(x_{i})-g(x_{i-1})} ,故 ∑ ∑ --> i = 1 n Δ Δ --> g i = g ( b ) − − --> g ( a ) {displaystyle sum _{i=1}^{n}Delta g_{i}=g(b)-g(a)} 。
黎曼-斯蒂爾傑斯積分
當注意的是。這兩個定義在黎曼-斯蒂爾傑斯積分的情況下,並不完全等價,以第一種定義可推出其存在的積分,必能以第二種定義推出其存在,但以第二種定義方式可推出其存在的積分不一定能以第一種定義的方式來計算。
第一種定義
A {displaystyle A} 是函數 f {displaystyle f} 在閉區間 [ a , b ] {displaystyle [a,b]} 上對函數 g {displaystyle g} 的黎曼-斯蒂爾傑斯積分,當且僅當對於任意的 ϵ ϵ --> > 0 {displaystyle psilon >0} ,都存在 δ δ --> > 0 {displaystyle delta >0} ,使得對於任意的取樣分割 x 0 , … … --> , x n {displaystyle x_{0},ldots ,x_{n}} 、 t 0 , … … --> , t n − − --> 1 {displaystyle t_{0},ldots ,t_{n-1}} ,只要它的子區間長度最大值 λ λ --> ≤ ≤ --> δ δ --> {displaystyle lambda leq delta } ,就有:
第二種定義
A {displaystyle A} 是函數 f {displaystyle f} 在閉區間 [ a , b ] {displaystyle [a,b]} 上對函數 g {displaystyle g} 的黎曼-斯蒂爾傑斯積分,當且僅當對於任意的 ϵ ϵ --> > 0 {displaystyle psilon >0} ,都存在一個取樣分割 x 0 , … … --> , x n {displaystyle x_{0},ldots ,x_{n}} 、 t 0 , … … --> , t n − − --> 1 {displaystyle t_{0},ldots ,t_{n-1}} ,使得對於任何比其“精細”的分割 y 0 , … … --> , y m {displaystyle y_{0},ldots ,y_{m}} 、 s 0 , … … --> , s m − − --> 1 {displaystyle s_{0},ldots ,s_{m-1}} ,都有:
若一個函數 f {displaystyle f} 在閉區間 [ a , b ] {displaystyle [a,b]} 上對函數 g {displaystyle g} 的黎曼-斯蒂爾傑斯積分存在,且值為 A {displaystyle A} ,則可寫作 A = ∫ ∫ --> a b f ( x ) d g ( x ) . {displaystyle A=int _{a}^{b}f(x)dg(x).}
與黎曼積分間的關聯
若g(x) = x時, f {displaystyle f} 在閉區間 [ a , b ] {displaystyle [a,b]} 上對函數 g {displaystyle g} 的黎曼-斯蒂爾傑斯積分 ∫ ∫ --> a b f ( x ) d g ( x ) . {displaystyle int _{a}^{b}f(x)dg(x).} 即為 f {displaystyle f} 在閉區間 [ a , b ] {displaystyle [a,b]} 上的黎曼積分 ∫ ∫ --> a b f ( x ) d x . {displaystyle int _{a}^{b}f(x)dx.} ,故從黎曼-斯蒂爾傑斯積分可引出黎曼積分。
若 g ( x ) {displaystyle g(x)} 可微且其對 x {displaystyle x} 微分後的函數 g ′ ( x ) {displaystyle g'(x)} 在閉區間 [ a , b ] {displaystyle [a,b]} 連續,則 f {displaystyle f} 在閉區間 [ a , b ] {displaystyle [a,b]} 上對函數 g {displaystyle g} 的黎曼-斯蒂爾傑斯積分 ∫ ∫ --> a b f ( x ) d g ( x ) . {displaystyle int _{a}^{b}f(x)dg(x).} 與黎曼積分 ∫ ∫ --> a b f ( x ) g ′ ( x ) d x . {displaystyle int _{a}^{b}f(x)g'(x)dx.} 相等
參見
黎曼積分
有界變差
查爾斯·狄更斯遠大前程 查爾斯·狄更斯《雙城記》
亞特蘭蒂斯:亞特蘭蒂斯竟有着超高文明
丹麥國王克里斯蒂安四世生平簡介 克里斯蒂安四世的結局如何?
亞特蘭蒂斯為什麼會突然消失?亞特蘭蒂斯是否真實存在?
斯蒂芬·奧斯汀是誰?為什麼他被稱為德克薩斯之父
卡斯蒂利亞王國國王 卡斯蒂利亞王國面積
赫爾曼·凱斯滕獎歷史 赫爾曼·凱斯滕獎歷史百科
奧斯曼帝國蘇丹:奧斯曼二世14歲登基,最後是怎麼死的?
凱瑟琳·曼斯菲爾德是誰?新西蘭作家凱瑟琳·曼斯菲爾德生平簡介
第一代比肯斯菲爾德伯爵:本傑明·迪斯雷利
曾經的亞特蘭蒂斯到底有多繁榮?亞特蘭蒂斯使用的能源是什麼
斯蒂芬金 斯蒂芬庫裏
黑斯廷斯戰役持續了多久 黑斯廷斯戰役和諾曼征服
珀爾修斯的父親是眾神之王宙斯?珀爾修斯身世
神學家雅斯貝爾斯的教育觀有什麼啟示意義
黎曼幾何模型 黎曼幾何三角面
阿加莎·克里斯蒂和柯南道爾創作的區別分析
莫傑斯特·彼得羅維奇·穆索爾斯基歷史 莫傑斯特·彼得羅維奇·穆索爾斯基歷史百科
古代妻子和妾室有什麼不同 最大的區別在什麼地方
古代人怎麼取暖?皇宮建火道堪比中央空調!
2018最新一期最髒水果排行,居然是草莓(20種農藥殘留)
歷史上宋江起義的真實情況其實只是走上歸降
費禕是被誰刺殺?到底是誰指使的呢?
真實的宋江系農民起義首領 對宋朝當局的打擊很小
德拉·託雷歷史 德拉·託雷歷史百科
虞世南所作的《春夜》,寫出詩人內心沉靜如水般的悠閒
宋朝進士宇文虛中在金朝做官,被尊為“國師”
樹未倒而猢猻散 項羽身邊僅剩八百壯士
駱賓王是哪朝哪裏人 駱賓王做詠鵝詩的故事
蘇良嗣簡介:唐朝眾多宰相之一,出身於名門武功蘇氏
劉備軍中的參謀除了諸葛亮還有誰?他才是劉備背後的支柱
為何獨有秦始皇“暴君”之稱 重人才卻也毀
權監劉瑾:中國歷史上被凌遲三千多刀的“皇帝&rdqu