矩陣力學和波動力學 矩陣力學創始人
本文已影響1.08W人
本文已影響1.08W人
矩陣力學,外文名matrix mechanics,是量子力學其中一種的表述形式,提出者是海森堡、玻恩、約爾丹,時間1925年。
凡是矩陣力學,皆可建於以下的假定:
所有的物理量,均以厄米矩陣表之。一個物理系統的哈密頓函數 H {displaystyle mathbf {H} ,} 是廣義座標矩陣 Q {displaystyle mathbf {Q} ,} 及其共軛動量矩陣 P {displaystyle mathbf {P} ,} 的函數。
一個物理量 F {displaystyle mathbf {F} ,} 的觀察值,是該矩陣的本徵值 f n 1 n 2 {displaystyle f_{{n_{1}}{n_{2}}},} 。而能量 E n 1 n 2 {displaystyle E_{{n_{1}}{n_{2}}},} 是哈密頓函數 H {displaystyle mathbf {H} ,} 的本徵值。
一個物理系統的廣義座標矩陣及其共軛動量矩陣滿足以下的對易關係,亦稱爲 強量子條件 : P Q − − --> Q P = ℏ ℏ --> i I {displaystyle mathbf {PQ} -mathbf {QP} ={hbar over i}mathbf {I} ,} I {displaystyle mathbf {I} ,} 爲單位矩陣。
一個物理系統(如原子)的頻率 ν ν --> n 1 n 2 {displaystyle u _{{n_{1}}{n_{2}}},} ,由頻率條件定之:
h ν ν --> n 1 n 2 = E n 1 n 1 − − --> E n 2 n 2 {displaystyle hu _{{n_{1}}{n_{2}}}=E_{{n_{1}}{n_{1}}}-E_{{n_{2}}{n_{2}}},}
對易關係的思想來源
h ν ν --> n 1 n 2 = E n 1 n 1 − − --> E n 2 n 2 {displaystyle hu _{{n_{1}}{n_{2}}}=E_{{n_{1}}{n_{1}}}-E_{{n_{2}}{n_{2}}},} 這個條件是由玻爾的頻率條件直接得來;但對易關係是如何引進的呢?如何得知新的力學形式是用矩陣去表達的呢? 其實海森堡的思想來源是先來自週期系統的解;週期系統的解全都可用傅里葉級數去展示:
q n ( t ) = ∑ ∑ --> n = 0 ∞ ∞ --> ( a n cos --> ( 2 π π --> n ν ν --> t ) + b n sin --> ( 2 π π --> n ν ν --> t ) ) = ∑ ∑ --> − − --> ∞ ∞ --> ∞ ∞ --> q n e 2 π π --> i n ν ν --> t {displaystyle q_{n}(t)=sum _{n=0}^{infty }(a_{n}cos(2pi nu t)+b_{n}sin(2pi nu t))=sum _{-infty }^{infty }q_{n}e^{2pi inu t}}
在此的 q n = 1 2 ( a n − − --> i b n ) {displaystyle q_{n}={ rac {1}{2}}(a_{n}-ib_{n}),} , q − − --> n = q n ∗ ∗ --> {displaystyle q_{-n}=q_{n}^{*},} 。 傅里葉級數有一個特點,就是對它進行運算,例如相加、相乘或微分,都不會產生 n ν ν --> , n = 1 , 2 , ⋯ ⋯ --> {displaystyle nu ,quad n=1,2,cdots ,} 以外的新頻率系列。 但原子系統的頻率是不能用傅里葉級數去表示,而是有一個叫里茲組合原則的經驗關係:
ν ν --> n 1 n 2 = ν ν --> n 1 n 3 + ν ν --> n 3 n 2 {displaystyle u _{{n_{1}}{n_{2}}}=u _{{n_{1}}{n_{3}}}+u _{{n_{3}}{n_{2}}},}
如果頻率能表示爲經驗項之差(如氫原子的裏德伯公式):
ν ν --> n 1 n 2 = T n 1 − − --> T n 2 {displaystyle u _{{n_{1}}{n_{2}}}=T_{n_{1}}-T_{n_{2}},}
里茲組合原則即可滿足,而在這裏原子系統形成一個“二維”的系統;對於頻率的“二維”本性,海森堡用“二維”的廣義座標
q n 1 n 2 o e 2 π π --> i ν ν --> n 1 n 2 t {displaystyle q_{{n_{1}}{n_{2}}}^{o}e^{2pi iu _{{n_{1}}{n_{2}}}t},}
去取代傅里葉分量 q n e 2 π π --> i n ν ν --> t {displaystyle q_{n}e^{2pi inu t},} 。而爲了模擬傅里葉級數,要求“二維”數集有以下關係:
q n 1 n 2 o = q n 1 n 2 o ∗ ∗ --> {displaystyle q_{{n_{1}}{n_{2}}}^{o}=q_{{n_{1}}{n_{2}}}^{o*},}
至於譜線 ν ν --> n 1 n 2 {displaystyle u _{{n_{1}}{n_{2}}},} 的幅度及偏振分別由 | q n 1 n 2 | 2 {displaystyle |q_{{n_{1}}{n_{2}}}|^{2},} 及 q n 1 n 2 {displaystyle q_{{n_{1}}{n_{2}}},} 複數的相位去表示。從里茲組合原則及對應原理,可以知道這類“二維”數集的乘法規則是:
( x x ) n 1 n 2 = ∑ ∑ --> j x n 1 j x j n 2 {displaystyle (xx)_{{n_{1}}{n_{2}}}=sum _{j}x_{{n_{1}}{j}}x_{{j}{n_{2}}},}
以使“二維”數集的運算,都不會產生 ν ν --> n 1 n 2 {displaystyle u _{{n_{1}}{n_{2}}},} 以外的新頻率,如
( q q ) n 1 n 2 = ∑ ∑ --> k q n 1 k e 2 π π --> i ν ν --> n 1 k t q k n 2 e 2 π π --> i ν ν --> k n 2 t = ∑ ∑ --> k q n 1 k q k n 2 e 2 π π --> i ( ν ν --> n 1 k + ν ν --> k n 2 ) t = ( ∑ ∑ --> k q n 1 k q k n 2 ) e 2 π π --> i ν ν --> n 1 n 2 t {displaystyle (qq)_{{n_{1}}{n_{2}}}=sum _{k}q_{{n_{1}}{k}}e^{2pi iu _{{n_{1}}{k}}t}q_{{k}{n_{2}}}e^{2pi iu _{{k}{n_{2}}}t}=sum _{k}q_{{n_{1}}{k}}q_{{k}{n_{2}}}e^{2pi i(u _{{n_{1}}{k}}+u _{{k}{n_{2}}})t}=(sum _{k}q_{{n_{1}}{k}}q_{{k}{n_{2}}})e^{2pi iu _{{n_{1}}{n_{2}}}t},}
( q ˙ ˙ --> ) n 1 n 2 = 2 π π --> i ν ν --> n 1 n 2 q n 1 n 2 e 2 π π --> i ν ν --> n 1 n 2 t {displaystyle ({dot {q}})_{{n_{1}}{n_{2}}}=2pi iu _{{n_{1}}{n_{2}}}q_{{n_{1}}{n_{2}}}e^{2pi iu _{{n_{1}}{n_{2}}}t},}
海森堡只憑這些結果,就能得到諧振子的零點能是 1 2 h ν ν --> {displaystyle { rac {1}{2}}hu ,} ,但計算其間要多次運用對應原理,先引入玻爾-索末菲量子條件 J = ∮ p d q = n h {displaystyle J=oint p,dq=nh,} ,利用經典物理去估算量子物理的結果。
接着海森堡將他的結果轉寄給玻恩,玻恩對於這些“二維”數集初時亦大感不解,後來他便意識到這些數集的運算與一個矩陣的運算是一模一樣的,於是玻恩便與海森堡和約爾丹開展矩陣力學的建立。 首先,任何兩個矩陣的乘法是不對易的:
A B − − --> B A ≠ ≠ --> 0 {displaystyle mathbf {AB} -mathbf {BA} eq mathbf {0} ,}
所以一個物理系統的廣義座標矩陣及其共軛動量滿矩陣的乘積是不對易的:
P Q − − --> Q P ≠ ≠ --> 0 {displaystyle mathbf {PQ} -mathbf {QP} eq mathbf {0} ,}
那麼這個乘積會等於什麼呢?其實這個乘積等於什麼可從玻爾-索末菲量子條件 J = ∮ p d q = n h {displaystyle J=oint p,dq=nh,} 加上對應原理預示出來。 對於任何週期系統,作用量有:
J = ∮ p d q = ∮ 0 1 ν ν --> p q ˙ ˙ --> d t {displaystyle J=oint p,dq=oint _{0}^{ rac {1}{u }}p{dot {q}},dt,}
如 p , q {displaystyle p,quad q,} 都使用傅里葉級數表示,就有:
J = ∫ ∫ --> 0 1 ν ν --> ∑ ∑ --> n 1 p n 1 e 2 π π --> i ν ν --> t ∑ ∑ --> n 2 2 π π --> i ν ν --> q n 2 e 2 π π --> i ν ν --> t d t = 2 π π --> i ν ν --> ∑ ∑ --> n , k ∫ ∫ --> 0 1 ν ν --> p n q n − − --> k ( k − − --> n ) e 2 π π --> i ν ν --> t d t = − − --> 2 π π --> i ∑ ∑ --> τ τ --> = − − --> ∞ ∞ --> ∞ ∞ --> τ τ --> p τ τ --> q − − --> τ τ --> {displaystyle J=int _{0}^{ rac {1}{u }}sum _{n_{1}}p_{n_{1}}e^{2pi iu t}sum _{n_{2}}2pi iu q_{n_{2}}e^{2pi iu t},dt=2pi iu sum _{n,k}int _{0}^{ rac {1}{u }}p_{n}q_{n-k}(k-n)e^{2pi iu t},dt=-2pi isum _{au =-infty }^{infty }au p_{au }q_{-au },}
所以 1 = ∂ ∂ --> J ∂ ∂ --> J = − − --> 2 π π --> i ∑ ∑ --> τ τ --> = − − --> ∞ ∞ --> ∞ ∞ --> τ τ --> ∂ ∂ --> ∂ ∂ --> J p τ τ --> q − − --> τ τ --> {displaystyle 1={ rac {partial J}{partial J}}=-2pi isum _{au =-infty }^{infty }au { rac {partial }{partial J}}p_{au }q_{-au },} 。
在玻爾-索末菲的理論中,作用量被量子化:
J = n h {displaystyle J=nh,}
況且 Δ Δ --> J = ( Δ Δ --> n ) h = τ τ --> h , τ τ --> ≡ ≡ --> Δ Δ --> n {displaystyle Delta J=(Delta n)h=au h,quad au quiv Delta n,} 。
由對應原理可知,經典理論的任何一個物理量 F {displaystyle F,} 的導數 ∂ ∂ --> F ∂ ∂ --> J {displaystyle { rac {partial F}{partial J}},} ,在量子理論中可用 Δ Δ --> F Δ Δ --> J = Δ Δ --> F τ τ --> h {displaystyle { rac {Delta F}{Delta J}}={ rac {Delta F}{au h}},} ,所以 ∂ ∂ --> ∂ ∂ --> J p τ τ --> q − − --> τ τ --> {displaystyle { rac {partial }{partial J}}p_{au }q_{-au },} 可用 1 τ τ --> h Δ Δ --> ( p τ τ --> q − − --> τ τ --> ) {displaystyle { rac {1}{au h}}Delta (p_{au }q_{-au }),} 替代,在新的理論中又可用 P , Q {displaystyle mathbf {P} ,mathbf {Q} ,} 表達式替代,即
1 τ τ --> h Δ Δ --> ( p τ τ --> q − − --> τ τ --> ) → → --> 1 τ τ --> h Δ Δ --> ( p n , n − − --> τ τ --> q n − − --> τ τ --> , n ) = − − --> 1 τ τ --> h ( p n , n − − --> τ τ --> q n − − --> τ τ --> , n − − --> q n , n + τ τ --> p n + τ τ --> , n ) {displaystyle { rac {1}{au h}}Delta (p_{au }q_{-au })ightarrow { rac {1}{au h}}Delta (p_{n,n-au }q_{n-au ,n})=-{ rac {1}{au h}}(p_{n,n-au }q_{n-au ,n}-q_{n,n+au }p_{n+au ,n}),}
將此代入上述的 1 = ∂ ∂ --> J ∂ ∂ --> J = − − --> 2 π π --> i ∑ ∑ --> τ τ --> = − − --> ∞ ∞ --> ∞ ∞ --> τ τ --> ∂ ∂ --> ∂ ∂ --> J p τ τ --> q − − --> τ τ --> {displaystyle 1={ rac {partial J}{partial J}}=-2pi isum _{au =-infty }^{infty }au { rac {partial }{partial J}}p_{au }q_{-au },} ,他們就得到關係式:
1 = 2 π π --> i h ∑ ∑ --> τ τ --> ( p n , n − − --> τ τ --> q n − − --> τ τ --> , n − − --> q n , n + τ τ --> p n + τ τ --> , n ) {displaystyle 1={ rac {2pi i}{h}}sum _{au }(p_{n,n-au }q_{n-au ,n}-q_{n,n+au }p_{n+au ,n}),}
這可用矩陣重新寫成:
( p q − − --> q p ) n n = h 2 π π --> i = ℏ ℏ --> i {displaystyle (pq-qp)_{nn}={ rac {h}{2pi i}}={ rac {hbar }{i}},}
他們便作以下的假定:一個物理系統的廣義座標矩陣及其共軛動量滿矩陣足以下的 對易關係 :
I {displaystyle mathbf {I} ,} 爲單位矩陣。
注意,千萬不要以爲對易關係能用玻爾-索末菲量子條件“推導”出來,更不要以爲它可從經典物理推導出來,總之,對易關係是一個全新的假定,只有實驗才能確認它的真實性。
海森堡運動方程及量子泊松括號
根據上文的對易關係,如果有一個矩陣函數(哈密頓函數) H = H ( Q , P ) {displaystyle mathbf {H} =mathbf {H} (mathbf {Q} ,mathbf {P} ),} ,我們有以下的關係:
英國理論物理學家狄拉克簡介:他如何成爲量子力學的奠基者之一?
《愛上你治癒我》題材是什麼?全實力陣容打造現實力作
古代學生是如何學習的 他們的記憶力爲什麼那麼強
現代天文學創始人哥白尼的專業竟然不是天文學
科學和神學相比哪一個纔是人類的階梯 科學理論盡頭真的是神學嗎
歷史上遭遇最殘忍約架的科學家 莫過於量子力學奠基人-尼爾斯·玻爾
歷史上遭遇最殘忍約架的科學家 莫過於量子力學奠基人 尼爾斯·玻爾
李鴻章與第一批留學幼童:洋務運動的中堅力量
原初引力波到底是什麼?爲何科學家一直在尋找它們?
古代有官學和私學教學機構 讀書人爲什麼還那麼少
8種超能力存在世上的能力 現在就連科學也無法解釋
奧地利心理學家阿德勒簡介:他如何成爲個體心理學創始人?
中國現代物理學研究工作的創始人之一 著名物理學家嚴濟慈簡介
瑞士數學家、力學家丹尼爾·伯努利出生
菲律賓巫醫魔力:科學無解的隔空治療術(超自然能力)
葉桂:溫病學派的創始人,清代最爲著名的臨牀醫學家
楊朱學派:戰國時期道家學派之一,創始人爲楊子
宋末元初文學家戴表元簡介:力主改革宋末學者萎蔽風氣
魏延被姜維所拋棄,他後來的人生過得如何?
英荷戰爭標誌着航海戰爭進入了新的階段
亞當斯的成功有哪些重要原因?堅持不懈才能取得最終成功
歸有光妻子——陪伴是最長情的告白
揭祕陸遜雖是一介書生卻要了關羽跟劉備的命
《假日暖洋洋2》程家三女孩最後結局分別如何?
諸葛亮在取得劉備的劍印之後,爲何安排關羽和張飛在博望
古代日本人爲什麼不吃肉?這就是身材矮小的原因嗎
紅花錦雞兒長什麼樣子?有哪些形態特徵呢?
鍾離眛的人物簡介,人生經歷是什麼樣的?
成吉思汗打下的國家到底有多大 其中都包括哪些國家
歷史上有九尾狐蘇妲己這個人嗎?
宋明理學二程是誰?他們的思想強調的是什麼?
楊秀清對太平天國很重要,最後他是怎麼死的?
提香有哪些作品?意大利畫家提香作品介紹及影響